Oroptero

Consideriamo la prospettiva in cui i punti di vista sono due, per simulare la prospettiva vista da due occhi, per questo motivo questa prospettiva si chiama binoculare. Per semplicità supporremo che il punto guardato sia alla stessa altezza dei due punti di vista in modo tale che questi tre punti formino un triangolo orizzontale. Questa semplificazione non è un limite, nella misura in cui attraverso una rotazione del sistema di riferimento, ci si può sempre riportare alla situazione supposta. In questa condizione le due prospettive hanno in comune il sistema di riferimento: la linea di terra, la linea di orizzonte e il punto principale. La linea di terra, che rappresenta il piano di appoggio dei piedi, e la linea di orizzonte, che rappresenta l’altezza degli occhi dell’osservatore, perché sono uguali per entrambi gli occhi. Il punto principale perché ha la stessa funzione della fovea nell’occhio. Come il punto principale è il centro del cerchio ottico sul quadro, così la fovea è il centro della retina. I due punti principali coincidono in quanto le due prospettive vengono sovrapposte nella corteccia visiva con un processo di integrazione.

Le due prospettive non sono uguali, anzi proprio la disuguaglianza orizzontale serve al sistema percettivo per creare la stereopsi, e questa disuguaglianza orizzontale si chiama disparità. Da un punto di vista geometrico le due prospettive, proprio con la loro diversità, danno luogo alla prospettiva binoculare, che ha un funzionamento diverso dalle prospettive di origine. Nella prospettiva lineare bisogna stare attenti al parallelismo delle rette in quanto rette parallele convergono allo stesso punto di fuga. Nella prospettiva binoculare bisogna stare attenti all’oroptero, il cerchio che le due prospettive hanno in comune. In questa prospettiva ogni retta ha due punti di fuga e due intersezioni col quadro binoculare, questo significa che ogni punto viene rappresentato due volte. Però esiste un luogo geometrico in cui questo non accade, questo è l’oroptero. Nella rappresentazione ortogonale del piano orizzontale fissiamo a piacere tre punti non allineati, due vicini che rappresentano gli occhi, uno più lontano che rappresenta il punto guardato. Essi formano un triangolo.

Poi tagliamo il lato destro del triangolo con una retta perpendicolare ad esso ad una distanza a piacere dal vertice che il lato stesso ha in comune con la base. In questo modo abbiamo fissato gli estremi per la prima prospettiva, infatti abbiamo costruito un punto di vista, un punto oggetto da guardare e, l'ultima retta disegnata, il quadro. Operiamo nello stesso modo sul lato sinistro del triangolo con le stesse misure.

Adesso prendiamo in considerazione la prospettiva di destra e stacchiamo un punto ad una distanza a piacere dal punto principale sulla retta che rappresenta il quadro. Uniamo questo punto col punto principale e prolunghiamolo dalla parte opposta, oltre il quadro. Questo rappresenta un raggio visuale. Operiamo nello stesso modo e con lo stesso fine sulla prospettiva di sinistra ottenendo un altro raggio visuale che abbia la stessa distanza e stesso verso dal punto principale dell'altra prospettiva. I due raggi visuali così ottenuti si incontrano in un punto e lo chiamiamo D. La prospettiva binoculare del punto D è rappresentata da un solo punto, perché nella sovrapposizione delle due prospettive come combaciano i due punti principali così combaciano le due rappresentazioni del punto D.

Se adesso facciamo la stessa cosa trovando altri punti ci accorgiamo che questa è la costruzione del cerchio.

Ciò significa che quando guardiamo un oggetto, tutti gli oggetti che si trovano sulla circonferenza che passa dall'oggetto osservato e dai nostri occhi li vediamo come se fossero visti da una sola prospettiva, perché nei punti dell'oroptero le due prospettive combaciano. Nello stesso tempo gli oggetti che si trovano dentro e fuori dal cerchio si sdoppiano. Per verificare questo basta mettere un dito più vicino ed uno più lontano, quando si guarda il dito vicino si sdoppia quello lontano e viceversa. La curva dell’oroptero non è influenzata dalla direzione dello sguardo, a destra, a sinistra o di fronte perché per tre punti passa una sola circonferenza. Non è nemmeno influenzata dal tipo di prospettiva, piana o sferica, perché tra i punti del quadro piano e i punti del quadro sferico c'è una corrispondenza biunivoca, cioè ad ogni punto della sfera corrisponde un punto sul piano. Dipende soltanto dalla posizione dell'oggetto osservato e degli occhi.

L’oroptero non è una superficie cilindrica, infatti se facciamo la prospettiva della circonferenza dell’oroptero sul piano orizzontale si hanno due curve, una per ogni occhio. Le due rappresentazioni del punto A, in riferimento al disegno sotto, coincidono sulla linea di orizzonte. Sul quadro, l’oroptero è un segmento che va dal punto B al punto C sulla linea di orizzonte.

La realtà è molto più complessa, abbiamo oggetti in tre dimensioni, più o meno vicini e in tutte le direzioni, infatti anche il discorso sull’oroptero è molto più complesso, non si ferma qui. Continuiamo osservando che gli angoli che i punti dell’oroptero formano con i due punti di vista sono tutti uguali.

Riferendoci alla figura seguente l’angolo in C è uguale all’angolo in un punto qualunque dell’oroptero, per esempio D. Infatti dall’uguaglianza dei triangoli APF e BPE si deduce che la somma degli angoli alla base dei due triangoli, ABC e ABD è uguale.

La visione non è fatta solo dei punti dell’oroptero, ci sono punti dentro, cioè più vicini, e punti fuori l’oroptero, più lontani. Quando il punto è dentro l’oroptero, l’angolo al vertice è maggiore di quello del punto di vergenza, quando è fuori è minore. Riferendoci alla figura seguente, l’angolo in D è maggiore dell’angolo in C, mentre l’angolo in E è minore.

Nella figura seguente si è messo in evidenza, del disegno precedente, la parte riguardante i due punti di vista e i due punti principali, chiamati entrambi P. Il triangolo ABD è interno al triangolo ABC e i lati AD e BD intersecano il quadro nei punti F, interni al triangolo ABC. Non dimenticando che C è il punto di vergenza, il tratto FP si chiama disparità crociata perché è interna al triangolo ABC. Dalla parte opposta abbiamo messo in evidenza il tratto GP, il quale è esterno al triangolo ABC, conseguenza del fatto che il triangolo ABE è esterno al triangolo ABC, per questo motivo si chiama disparità non crociata.

A questo punto ciò che è importante notare è che la misura della disparità crociata è direttamente proporzionale agli angoli che si formano sui rispettivi oropteri, cioè più grande è la disparità crociata più grande è l’angolo al vertice del triangolo che il punto oggetto forma con la base fatta dai punti di vista. Al contrario, la misura della disparità non crociata è inversamente proporzionale agli angoli degli oropteri esterni, cioè più grande è la disparità non crociata più piccolo è l’angolo all’oroptero. Siccome ad ogni angolo corrisponde un oroptero, la mente sa sempre a quale oroptero appartiene un punto.

Se adesso noi sovrapponiamo le due prospettive facendo coincidere la linea di terra con la linea di terra, la linea di orizzonte con la linea di orizzonte e i due punti principali, il punto D, essendo in disparità crociata, e il punto E, essendo in disparità non crociata, sul quadro vengono rappresentati due volte sulla linea di orizzonte, in quanto non appartengono all’oroptero del punto di vergenza, inoltre i punti presi in considerazione, appartengono tutti al piano determinato dai due punti di vista e il punto guardato. Ciò significa che se il nostro cervello sovrapponesse semplicemente le due prospettive dei due occhi quando guardiamo un oggetto, di esso dovremmo vedere chiaramente solo un punto, in quanto qualunque oggetto, avendo tre dimensioni, ha punti in oropteri diversi, che avrebbero due immagini. Invece il cervello, tramite la disparità crociata e non, riferisce ogni punto dello spazio ad un oroptero diverso. Se la disparità è crociata, le due immagini del punto vengono fuse, vediamo un solo punto però più vicino rispetto al punto di vergenza, il punto guardato. La stessa cosa vale per la disparità non crociata, le due immagini vengono fuse, cioè ne vediamo una sola però più lontana rispetto al punto di vergenza. Questo miracolo operato dal cervello si chiama fusione. Essa è la capacità del cervello di costruire una mappa tridimensionale dello spazio che ci circonda. In altre parole noi non vediamo in prospettiva il mondo che ci circonda, lo vediamo in tre dimensioni; non vediamo un mondo in prospettiva, cioè piatto con degli indici di profondità, bensì lo vediamo in profondità.

A questo punto il discorso si è semplificato in quanto tutto ciò che si è detto è servito a chiarire che noi vediamo in tre dimensioni. Però il cervello non riesce ad operare la fusione per tutti i punti dello spazio, opera la fusione solo per i punti oggetto che si trovano in prossimità dell’oroptero, è come se esso avesse uno spessore, un’area che si chiama area di Panum. Dagli esperimenti fatti risulta che essa è più stretta al centro e più larga ai lati, come mostra il disegno sotto.

Per concludere, nella prospettiva binoculare si possono distinguere tre zone: quella principale a cui appartiene l’oggetto guardato che è la zona di punti singoli visti nelle tre dimensioni, che è più stretta al centro e più larga ai lati; la zona di disparità crociata, a cui appartengono gli oggetti più vicini del punto di vergenza, con due immagini distinte per ogni oggetto, in cui l’immagine di destra rappresenta ciò che vede l’occhio destro; infine la zona della disparità non crociata, a cui appartengono gli oggetti più lontani del punto di vergenza, con due immagini distinte per ogni oggetto, in cui l’immagine di destra rappresenta ciò che vede l’occhio sinistro